16694. Пусть O
— центр описанной окружности, G
— точка пересечения медиан остроугольного треугольника ABC
. Прямая, перпендикулярная OG
, проходящая через точку G
, пересекает отрезок BC
в точке K
. Касательная к описанной окружности треугольника ABC
в точке A
пересекает прямую KG
в точке L
. Найдите величину угла ACB
, если \angle=155^{\circ}
, а \angle ABC=53^{\circ}
.
Ответ. 78^{\circ}
.
Решение. Пусть M
— середина стороны BC
. Поскольку AM
— медиана, точка G
лежит на AM
.
Четырёхугольник OGMK
вписанный, так как
\angle OGK=90^{\circ}=\angle OMK
(первое равенство верно по условию, второе следует из того, что OM
— серединный перпендикуляр к отрезку BC
), откуда
\angle GOK=180^{\circ}-\angle GMK=\angle GMC
.
Четырёхугольник OGLA
вписанный, так как
\angle OGL=90^{\circ}=\angle OAL
(первое равенство верно по условию, второе следует из того, что OA
— радиус, а AL
— касательная к описанной окружности треугольника ABC
), откуда \angle GOL=\angle GAL
.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle LAC=\angle ABC
.
Кроме того, из вписанности четырёхугольника OGMK
получаем
\angle CMA=180^{\circ}-\angle GMK=\angle GOK,
а так как вписанные в окружность с диаметром LO
углы LAG
и LOG
опираются на одну и ту же дугу, то
\angle LAG=\angle LOG.
Следовательно,
\angle ACB=180^{\circ}-\angle CAM-\angle CMA=180^{\circ}-(\angle LAM-\angle LAC)-\angle GOK=
=180^{\circ}-(\angle LAG-\angle ABC)-\angle GOK=180^{\circ}-(\angle LAG+\angle GOK)+\angle ABC=
=180^{\circ}-(\angle LOG+\angle GOK)+\angle ABC=180^{\circ}-155^{\circ}+53^{\circ}=78^{\circ}.
(первое равенство следует из суммы углов треугольника AMC
).
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 2021-2022, XLIV, заключительный тур, март 2022, задание 3