16696. В ромб ABCD
вписана окружность \omega
с центром O
. Точки P
и Q
выбраны на сторонах BC
и CD
соответственно таким образом, что прямая PQ
касается \omega
в точке L
. Обозначим точку касания \omega
со стороной CD
через K
. Докажите, что площадь треугольника PQD
равна площади четырёхугольника OLQK
.
Решение. Центр O
вписанной окружности ромба совпадает с центром ромба, а значит, является серединой диагонали BD
. Пусть M
и N
— точки пересечения отрезков соответственно OL
и OK
с отрезком DP
. Вычитая из обеих указанных в условии площадей площадь пятиугольника NMLQK
, получаем, что нужное нам равенство площадей равносильно равенству
S_{\triangle PML}+S_{\triangle NKD}=S_{\triangle OMN}.
Добавим теперь к обеим частям равенства площади треугольников OPM
и OND
. Получим, что теперь наше равенство выглядит следующим образом
S_{\triangle OPL}+S_{\triangle OKD}=S_{\triangle OPD}.
Пусть R
— точка касания вписанной в ромб окружности со стороной BC
. В силу симметрии относительно диагонали AC
треугольники OKD
и ORB
равны, а в силу симметрии касательных относительно прямой OP
равны треугольники OPL
и OPR
. Тогда наше равенство переходит в в равенство
S_{\triangle OPD}=S_{\triangle OPL}+S_{\triangle OKD}=S_{\triangle OPR}+S_{\triangle ORB}=S_{\triangle OBP}.
Но площади этих треугольников равны, так как медиана PO
треугольника BPD
делит его на два равновеликих. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 2019-2020, XLII, заключительный тур, март 2020, задача 2