16706. Стороны AB
и AD
квадрата ABCD
касаются окружности, радиус которой втрое меньше стороны квадрата.
а) Докажите, что эта окружность разбивает диагональ BD
на три равные части.
б) Касательная к окружности, проведённая через точку B
, пересекает сторону CD
в точке E
. Найдите DE
, если сторона квадрата равна 12.
Ответ. 3.
Решение. а) Пусть окружность (обозначим её радиус через R
) касается сторон AB
и AD
квадрата в точках M
и L
соответственно, а MQ=2R
— диаметр окружности. Тогда расстояния от точки Q
до прямых AD
и DE
равны R
и 3R-2R=R
соответственно, т. е. точка Q
равноудалена от этих прямых. Тогда Q
лежит на биссектрисе угла ADC
, а значит, на диагонали BD
квадрата. При этом DQ:QB=R\sqrt{2}:2R\sqrt{2}=1:2
. Аналогично, точка P
, диаметрально противоположная точке L
, делит диагональ BD
в отношении BP:PD=1:2
. Следовательно, BP=DQ=PQ
. Что и требовалось доказать.
б) Пусть окружность касается прямой BE
в точке F
, а прямая BE
пересекается с прямой AD
в точке K
. Обозначим KF=KL=x
. Тогда
AK=AL+KL=R+x=4+x,
KB=BF+KF=BM+KF=2R+x=8+x.
По теореме Пифагора
BK^{2}=AB^{2}+AK^{2}~\mbox{или}~(8+x)^{2}=12^{2}+(4+x)^{2},
откуда x=12
. Тогда DK=x-2R=12-8=4
.
Прямоугольные треугольники EDK
и ECB
подобны с коэффициентом \frac{DK}{BC}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}
. Следовательно,
DE=\frac{3}{CE}=\frac{1}{4}CD=\frac{1}{4}\cdot12=3.
Источник: ЕГЭ. — 2024, профильный уровень, задача 17