16708. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AK
и CM
. На них из точек M
и K
опущены перпендикуляры ME
и KH
соответственно.
а) Докажите, что прямые EH
и AC
параллельны.
б) Найдите отношение \frac{EH}{AC}
, если \angle ABC=60^{\circ}
.
Ответ. 1:4
.
Решение. а) Поскольку
\angle AMC=\angle AKC=\angle MEK=\angle MHK=90^{\circ},
около четырёхугольников AMKC
и MEHK
можно описать окружности с диаметрами AC
и MK
соответственно. Значит,
\angle KAC=\angle KMC=\angle KMH=\angle KEH.
Следовательно, прямые AC
и EH
параллельны. Что и требовалось доказать.
б) Пусть O
— точка пересечения отрезков AK
и CM
. Тогда
\angle AOM=90^{\circ}-\angle MAO=90^{\circ}-\angle BAK=\angle BAC=60^{\circ}.
Треугольники EOH
и AOC
подобны, а так как
EO=MO\cos\angle AOM=AO\cos^{2}\angle AOM=AO\cos^{2}60^{\circ}=\frac{1}{4}AO,
то коэффициент подобия равен \frac{1}{4}
. Следовательно,
\frac{EH}{AC}=\frac{EO}{AO}=\frac{1}{4}.
Источник: ЕГЭ. — 2024, профильный уровень, задача 17