16709. Две непересекающиеся окружности радиусов 1 и 3 вписаны в угол POQ
, где P
— точка касания стороны угла с первой окружностью, а Q
— точка касания другой стороны угла со второй окружностью. Общая внутренняя касательная AB
окружностей пересекает луч OP
в точке A
, а отрезок OQ
в точке B
. Найдите AB
, если OP=3
.
Ответ. 6.
Решение. Пусть первая окружность касается отрезка OQ
в точке P'
, а вторая окружность касается луча OP
в точке Q'
, прямая AB
касается первой окружности в точке X
, а второй — в точке Y
. Тогда из равенства отрезков касательных получаем
AX=AP,~BY=BQ,~BX=BP',~AY=AQ';
2AB=AX+XB+AY+YB=(AP+P'B)+(AQ'+BQ)=
=(AP+AQ')+(BQ+P'B)=PQ'+P'Q=2PQ',
откуда AB=PQ'
.
Обозначим центры окружностей через C
и D
соответственно. Прямоугольные треугольники OQ'D
и OPC
подобны с коэффициентом \frac{Q'D}{PC}=3
, поэтому OQ'=3OP=9
, откуда
AB=PQ'=OQ'-OP=6.
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 2018-2019, XLI, заключительный тур, март 2019, задача 3