16710. В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC
угол A
равен 60^{\circ}
, BD
и CE
— высоты. Найдите отношение \frac{AB-AC}{BE-CD}
.
Ответ. \frac{2}{3}
.
Решение. В прямоугольных треугольниках ABD
и ACE
угол A
равен 60^{\circ}
. Значит,
AB=2AD~\mbox{и}~AC=2AE.
Тогда
\frac{AB-AC}{BE-CD}=\frac{2AD-2AE}{AB-AE-AC+AD}=\frac{2AD-2AE}{2AD-AE-2AE+AD}=\frac{2(AD-AE)}{3(AD-AE)}=\frac{2}{3}.
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 2017-2018, XL, заключительный тур, март 2018, задача 2