16711. В треугольнике ABC
угол B
тупой. На плоскости отмечена точка D
, для которой \angle BDC-\angle ADB=2\angle BAC
и \angle ABD=90^{\circ}
, причём точки C
и D
лежат по одну сторону от прямой AB
. Докажите, что AD=CD
.
Решение. Возможны три случая: точка D
может быть внутри или вне треугольника ABC
, а также на стороне AC
.
1. Пусть точка D
лежит внутри треугольника ABC
. Обозначим \angle BDC=\alpha
и \angle ADB=\beta
. Тогда \angle BAD=90^{\circ}-\beta
. Значит,
\angle CAD=\angle BAC-\angle BAD=\frac{1}{2}(\alpha-\beta)-(90^{\circ}-\beta)=\frac{1}{2}(\alpha+\beta)-90^{\circ}\gt0^{\circ}.
При этом \angle ADC=360^{\circ}-\alpha-\beta
, поэтому
\angle ACD=180^{\circ}-\angle ADC-\angle CAD=180^{\circ}-(360^{\circ}-\alpha-\beta)-\left(\frac{1}{2}(\alpha+\beta)-90^{\circ}\right)=
=\frac{1}{2}(\alpha+\beta)-90^{\circ}=\angle CAD.
Следовательно, треугольник ACD
равнобедренный, и AD=CD
.
2. Пусть точка D
лежит вне треугольника ABC
. Обозначим \angle BDC=\alpha
и \angle ADB=\beta
. Тогда \angle BAD=90^{\circ}-\beta
. Значит,
\angle CAD=(90^{\circ}-\beta)-\frac{1}{2}(\alpha-\beta)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha-\beta)\gt0^{\circ}.
При этом \angle ADC=\alpha+\beta
, поэтому
\angle ACD=180^{\circ}-\angle ADC-\angle CAD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha-\beta).
Следовательно, треугольник ACD
равнобедренный, и AD=CD
.
3. Пусть точка D
лежит на стороне AC
. В этом случае
\angle BDC-\angle BDA=(180^{\circ}-\beta)-\beta=180^{\circ}-2\beta=2(90^{\circ}-\beta)=2\angle BAD.
Тогда вершину C
треугольника ABC
можно заменить на любую точку C'
луча DC
, и условие задачи останется выполненным. При этом очевидно, что условие AD=CD
будет нарушено при замене C
на C'
.
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 2015-2016, XXXIIX, заключительный тур, март 2016, задача 2