16717. В прямоугольном треугольнике ABC
угол B
прямой, AB\gt BC
. Около треугольника ABC
описана окружность \Omega
. Касательная к \Omega
в точке B
пересекает прямую AC
в точке Q
. Точка M
— середина дуги AB
окружности \Omega
, не содержащей точки C
. Прямая QM
пересекает окружность \Omega
в точках M
и P
. Касательная к \Omega
в точке P
пересекает прямую BC
в точке D
. Докажите, что угол QDC
прямой.
Решение. В вписанном четырёхугольнике ACPM
сумма углов MAC
и CPM
равна 180^{\circ}
, поэтому \angle MAC=\angle CPQ
. Угол BMP
опирается на дугу BP
, а PBQ
— угол между касательной BQ
и хордой BP
, опирающийся на эту дугу, поэтому \angle BMP=\angle PBQ
. Аналогично,
\angle BAC=\angle CBQ~\mbox{и}~\angle CBP=\angle CPD.
Таким образом, следующие пары треугольников подобны по двум углам: MAQ
и CPQ
, MBQ
и BPQ
, BAQ
и CBQ
, BPD
и PCD
.
Из подобия треугольников MAQ
и CPQ
получаем
\frac{CP}{CQ}=\frac{AN}{MQ}~\Rightarrow~CP=\frac{AM\cdot CQ}{MQ}.
Из подобия треугольников MBQ
и BPQ
получаем
\frac{BP}{BQ}=\frac{BM}{MQ}~\Rightarrow~BP=\frac{BM\cdot BQ}{MQ}.
Из подобия треугольников BPD
и PCD
, учитывая, что AM=BM
, получаем
\frac{CD}{PD}=\frac{CP}{BP}=\frac{\frac{AM\cdot CQ}{MQ}}{\frac{BM\cdot BQ}{MQ}}=\frac{AM\cdot CQ}{BM\cdot BQ}=\frac{CQ}{BQ}.
Заметим, что
\frac{CD}{BD}=\frac{CD^{2}}{BD\cdot CD}=\frac{CD^{2}}{PD^{2}}=\frac{CQ^{2}}{BQ^{2}}=\frac{CQ^{2}}{AQ\cdot CQ}=\frac{CQ}{AQ}.
Тогда по свойству пропорций
\frac{CD}{BD+CD}=\frac{CQ}{AQ+CQ}~\Rightarrow~\frac{CD}{BC}=\frac{CQ}{AC}.
Таким образом, треугольники ACB
и QCD
подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Следовательно,
\angle QDC=\angle ABC=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 2016-2017, XXXIX, заключительный тур, март 2017, задача 4