16720. Диагонали BD
и AC
трапеции ABCD
пересекаются в точке M
, а отношение оснований AD:BC=1:2
. Точки I_{1}
и I_{2}
— центры окружностей \Omega_{1}
и \Omega_{2}
, вписанных в треугольники BMC
и AMD
соответственно. Прямая, проходящая через точку M
, пересекает \Omega_{1}
в точках X
и Y
, а \Omega_{2}
— в точках Z
и W
(X
и Z
находятся ближе к M
). Найдите радиус окружности \Omega_{1}
, если I_{1}I_{2}=\frac{13}{2}
, а MZ\cdot MY=5
.
Ответ. \frac{\sqrt{79}}{3}
.
Решение. Треугольники BCM
и DAM
подобны по двум углам, а коэффициент подобия равен \frac{BC}{AD}=2
.
Пусть r
— радиус окружности \Omega_{1}
. Тогда из подобия следует, что радиус окружности \Omega_{2}
равен \frac{r}{2}
. Также из подобия следует, что
\frac{1}{2}=\frac{MZ}{MX}=\frac{MW}{MY}~\Rightarrow~MZ\cdot MY=MX\cdot MW=MX\cdot\frac{1}{2}MY=\frac{1}{2}MX\cdot MY.
Пусть окружность с центром I_{1}
касается диагонали BD
в точке T
. По теореме о касательной и секущей MX\cdot MY=MT^{2}
. По теореме Пифагора из треугольника I_{1}MT
получаем
MT^{2}=MI_{1}^{2}-r^{2}.
Поскольку отношение отрезков MI_{1}
и MI_{2}
равно коэффициенту подобия треугольников, отсюда следует, что MI_{1}=\frac{2}{3}I_{1}I_{2}
.
Используя все полученные выше соотношения, получим
MZ\cdot MY=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{9}I_{1}I_{2}^{2}-r^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{9}\cdot\frac{169}{9}-r^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{169}{9}-r^{2}\right).
Следовательно,
r^{2}=\frac{169}{9}-2\cdot MZ\cdot MY=\frac{169}{9}-2\cdot5=\frac{79}{9}~\Rightarrow~r=\frac{\sqrt{79}}{3}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024, заключительный этап, 11 класс, задача 4, вариант 11