16722. Углы выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию, имеющую разность 2^{\circ}
и начинающуюся с угла 143^{\circ}
. Какое наибольшее число вершин может быть у такого многоугольника?
Ответ. 18.
Решение. Сумма углов n
-угольника равна 180^{\circ}(n-2)
. С другой стороны, по формуле суммы арифметической прогрессии она же равна
\frac{n}{2}(2\cdot143^{\circ}+(n-1)\cdot2^{\circ}).
Приравняв эти выражения, получаем
180(n-2)=n(n+142)~\Leftrightarrow~(n-18)(n-20)=0,
откуда n=18
или n=20
. Остаётся заметить, что значение n=20
не подходит, поскольку в этом случае наибольший угол был бы равен 181^{\circ}
, что невозможно для выпуклого многоугольника.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024, заключительный этап, задача 1, вариант 11