16724. Точка K
расположена вне окружности \Omega
с центром O
, точка M
— внутри \Omega
, а точка P
— на \Omega
. Отрезок KM
пересекает \Omega
в точке L
, а прямая KP
касается окружности. Найдите квадрат радиуса окружности, если известно, что OM=2
, LM=5
, KL=9
, KP=12
.
Ответ. 14.
Решение. Пусть F
— вторая точка пересечения прямой KM
с окружностью. По теореме о касательной и секущей KL\cdot KF=KP^{2}
, или 9KF=144
, поэтому KF=16
и
MF=KF-KL-LM=16-9-5=2.
Пусть \angle OMF=\varphi
, тогда \angle OML=180^{\circ}-\varphi
. Учитывая, что \cos(180^{\circ}-\varphi)=-\cos\varphi
, по теореме косинусов из треугольников OMF
и OML
получаем равенства
r^{2}=OF^{2}=2^{2}+2^{2}-2\cdot2\cdot2\cdot\cos\varphi,~r^{2}=OL^{2}=2^{2}+5^{2}+2\cdot2\cdot5\cdot\cos\varphi.
Из этой системы, находим, что \cos\varphi=-\frac{3}{4}
. Следовательно,
r^{2}=2^{2}+2^{2}-2\cdot2\cdot2\cdot\cos\varphi=4+4+8\cdot\frac{3}{4}=14.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023-2024, первый этап, третий день, 11 класс, задача 6, вариант а