16726. На гипотенузе AB
равнобедренного прямоугольного треугольника ABC
отмечены точки P
и Q
(P
лежит между A
и Q
, причём AP^{2}+BQ^{2}=PQ^{2}=\sqrt{578}
. Найдите наименьшее возможное значение радиуса описанной около треугольника CPQ
окружности.
Ответ. \sqrt[{4}]{{144{,}5}}
.
Решение. Обозначим AC=BC=a
, \angle PCA=\alpha
и \angle QCB=\beta
. Тогда
\angle APC=180^{\circ}-45^{\circ}-\alpha=135^{\circ}-\alpha,~\angle BQC=180^{\circ}-45^{\circ}-\beta=135^{\circ}-\beta.
Применив теорему синусов к треугольникам ACP
и BCQ
, получим, что
\frac{AP}{\sin\alpha}=\frac{a}{\sin(135^{\circ}-\alpha)}=\frac{a}{\sin(45^{\circ}+\alpha)},~\frac{BQ}{\sin\beta}=\frac{a}{\sin(135^{\circ}-\beta)}=\frac{a}{\sin(45^{\circ}+\beta)},
или
AP=\frac{a\sin\alpha}{\sin(45^{\circ}+\alpha)},~BQ=\frac{a\sin\beta}{\sin(45^{\circ}+\beta)}.
Тогда
PQ=a\sqrt{2}-\frac{a\sin\alpha}{\sin(45^{\circ}+\alpha)}-\frac{a\sin\beta}{\sin(45^{\circ}+\beta)}.
Обозначим \frac{\sin\alpha}{\sin(45^{\circ}+\alpha)}=x
и \frac{\sin\beta}{\sin(45^{\circ}+\beta)}=y
. По условию задачи AP^{2}+BQ^{2}=PQ^{2}
. После деления обеих частей этого равенства на a^{2}
получим
x^{2}+y^{2}=(\sqrt{2}-x-y)^{2}~\Leftrightarrow~\sqrt{2}(x+y)=1+xy.
Возвращаясь к исходным обозначениям, получим
\sqrt{2}\left(\frac{\sin\alpha}{\sin(45^{\circ}+\alpha)}+\frac{\sin\beta}{\sin(45^{\circ}+\beta)}\right)=1+\frac{\sin\alpha}{\sin(45^{\circ}+\alpha)}\cdot\frac{\sin\beta}{\sin(45^{\circ}+\beta)}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sqrt{2}(\sin\alpha\sin(45^{\circ}+\beta)+\sin\beta\sin(45^{\circ}+\alpha)=\sin(45^{\circ}+\alpha)\sin(45^{\circ}+\beta)+\sin\alpha\sin\beta~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos(\alpha-\beta-45^{\circ})-\cos(\alpha+\beta+45^{\circ})+\cos(\beta-\alpha-45^{\circ})-\cos(\alpha+\beta+45^{\circ}))=
=\frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(90^{\circ}+\alpha+\beta)+2\sin\alpha\sin\beta)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sqrt{2}(\cos(\alpha-\beta-45^{\circ})+\cos(\alpha-\beta+45^{\circ})-2\cos(\alpha+\beta+45^{\circ}))=
=\cos(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)+2\sin\alpha\sin\beta~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\cos(\alpha-\beta)+\sin(\alpha-\beta)+\cos(\alpha-\beta)-\sin(\alpha-\beta)-2\cos(\alpha+\beta)+2\sin(\alpha+\beta)=
=\cos(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)~\Leftrightarrow~\sin(\alpha+\beta)=\cos(\alpha+\beta).
Тогда \alpha+\beta=45^{\circ}
. Значит,
\angle PCQ=90^{\circ}-\alpha-\beta=45^{\circ},
а по теореме синусов искомый радиус равен
\frac{PQ}{2\sin45^{\circ}}=\frac{PQ}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt[{4}]{{578}}}{\sqrt[{4}]{{4}}}=\sqrt[{4}]{{144{,}5}}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023-2024, первый этап, третий день, 11 класс, задача 10, вариант а