16728. Внутри прямоугольника PQST
расположены окружности \Omega
и \omega
, касающиеся друг друга в точке C
. Известно, что окружность \Omega
касается сторон PQ
, PT
и ST
, а окружность \omega
— сторон PQ
и QS
; кроме того, прямая CS
— общая касательная к окружностям. Найдите радиус R
окружности \Omega
, если известно, что радиус r
окружности \omega
равен 3. Ответ округлите с точностью до трёх знаков после запятой.
Ответ. R=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}\approx7{,}854
.
Решение. Пусть A
и B
— центры окружностей \Omega
и \omega
соответственно (см. рис.); F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A
на сторону ST
. Обозначим точки пересечения прямой, проходящей через точку B
параллельно стороне PQ
, с прямыми AF
и QS
через H
и N
соответственно.
Отрезок BH
равен отрезку общей внешней касательной данных окружностей, т. е. BH=2\sqrt{Rr}
(см. задачу 365). Значит,
SN=SC=SF=HN=HB+BN=2\sqrt{Rr}+r.
В то же время,
AQ=2R~\mbox{и}~SQ=QN+SN=r+2\sqrt{Rr}+r=2r+2\sqrt{Rr}.
Отсюда получаем уравнение
2\sqrt{Rr}+2r=2R,~\mbox{или}~R-\sqrt{Rr}-r=0.
Если r=3
, то
R-\sqrt{3}\cdot\sqrt{R}-3=0,
откуда (поскольку \sqrt{R}\gt0
)
\sqrt{R}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3+4\cdot3}}{2}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}.
Следовательно,
R=\left(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}\right)^{2}=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023-2024, первый этап, 11 класс, задача 7, вариант а