1673. Докажите, что равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.
Указание. Опустите перпендикуляры из центра окружности на данные хорды.
Решение. Пусть AB
и A_{1}B_{1}
— равные хорды окружности с центром O
, не являющиеся диаметрами. Расстояния от центра окружности до этих хорд равны перпендикулярам OM
и OM_{1}
, опущенным на хорды из центра окружности. Поскольку M
и M_{1}
— середины хорд, то
AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}A_{1}B_{1}=A_{1}M_{1}.
Значит, прямоугольные треугольники AMO
и A_{1}M_{1}O
равны по катету и гипотенузе (радиус окружности). Следовательно, OM=OM_{1}
.
Если AB
и A_{1}B_{1}
— диаметры, то утверждение очевидно.