16734. Точки P
и Q
— середины сторон соответственно AB
и AC
треугольника ABC
, а X
— точка пересечения перпендикуляра к AB
, проходящего через точку A
, с перпендикуляром к BC
, проходящим через точку Q
. Найдите сторону BC
, если известно, что PX=29
, а угол BAC
острый и \sin\angle BAC=\frac{1}{8}
.
Ответ. 7,25.
Решение. Пусть O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
, а BF
— её диаметр. Тогда
\angle BAF=\angle BCF=90^{\circ}
как вписанные углы, опирающиеся на диаметр. Следовательно, QX\parallel CF
.
Поскольку прямая QX
проходит через середину одной стороны треугольника ACF
и параллельна его другой стороне, то отрезок QX
— средняя линия треугольника ACF
, и точка X
— середина отрезка AF
.
Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC
равен R
. Заметим, что OP\perp AB
и OX\perp AF
, так как точки P
и Q
— середины хорд AB
и AF
(см. задачу 1677). Значит, APOX
—прямоугольник, поэтому
R=OA=PX=29.
Следовательно, по теореме синусов
BC=2R\sin\angle BAC=2\cdot29\cdot\frac{1}{8}=\frac{29}{4}=7{,}25.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023-2024, первый этап, 10 класс, задача 10, вариант а