16736. В ромбе ABCD
с острым углом A
продолжение высоты, опущенной из вершины B
на сторону AD
, пересекает прямую CD
в точке P
. Известно, что высота ромба равна 1, а CP=\frac{9}{2\sqrt{2}}
. Найдите сторону ромба, если известно, что это целое число.
Ответ. 3.
Решение. Пусть \angle BAD=\angle BCD=\alpha
, BH
— высота ромба, опущенная на сторону AD
. Из прямоугольных треугольников ABH
и BCP
получаем, что
AB=\frac{BH}{\sin\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha},~BC=CP\cos\alpha=\frac{9\cos\alpha}{2\sqrt{2}}.
Поскольку сторона ромба равны, получаем уравнение
\frac{9\cos\alpha}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sin\alpha}.
По условию BAC
— острый угол, поэтому его синус и косинус положительны. Значит, возведя в квадрат обе части уравнения, получим равносильное ему уравнение
\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha=\frac{8}{81},~\mbox{или}~\sin^{4}\alpha-\sin^{2}\alpha+\frac{8}{81},
откуда \sin\alpha=\frac{1}{3}
или \sin\alpha\frac{2\sqrt{2}}{3}
. Следовательно, AB=3
или AB=\frac{2\sqrt{2}}{3}
, а так как по условию AB
— целое, то AB=3
.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023-2024, второй этап, 10 класс, задача 5, вариант а