16740. Прямая, параллельная биссектрисе AX
треугольника ABC
и проходящая через середину M
его стороны BC
, пересекает сторону AB
и продолжение стороны AC
в точках Z
и Y
соответственно. Найдите BC
, если AC=18
, AZ=6
, YZ=8
.
Ответ. BC=8\sqrt{21}
.
Решение. Положим \angle BAC=2\alpha
. Тогда
\angle BAX=\angle CAX=\alpha.
Прямые AX
и MY
параллельны, поэтому
\angle AYZ=\angle CAX=\alpha,~\angle AZY=\angle BAX=\alpha.
Пусть MN
— средняя линия треугольника ABC
, параллельная стороне AB
. Тогда
\angle NMY=\angle AZY=\alpha.
В треугольниках MNY
и AZY
есть по два угла, равных \alpha
. Значит, они оба равнобедренные и подобны друг другу. Из треугольника AYZ
находим, что
\cos\alpha=\frac{YZ}{2AZ}=\frac{2}{3}.
Заметим, что
\angle CNM=\angle CAB+2\alpha,
CN=\frac{1}{2}AC=9~\mbox{и}~MN=NY=AN+AY=\frac{1}{2}AC+AZ=9+6=15.
Кроме того,
\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=2\cdot\frac{4}{9}-1=-\frac{1}{9}.
По теореме косинусов из треугольника MNC
получаем
MC^{2}=MN^{2}+CN^{2}-2MN\cdot CN\cdot\cos2\alpha=225+81-2\cdot15\cdot9\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)=336.
Следовательно,
BC=2MC=2\cdot\sqrt{336}=2\cdot\sqrt{16\cdot21}=8\sqrt{21}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023-2024, заключительный этап, 10 класс, задача 4, вариант 5