16756. На стороне BC
треугольника ABC
отмечены точки M
и N
, причём BM=MN=NC
. Прямая, параллельная AN
и проходящая через точку M
, пересекает продолжение стороны AC
за точку A
в точке D
, для которой AB=CD
. Найдите AB
, если BC=12
и \cos2\angle CAN=-\frac{1}{4}
.
Ответ. AB=4\sqrt{6}
.
Решение. Пусть E
— точка пересечения AB
и DM
. Поскольку BM=MN=NC
, а DM\parallel AN
, то по теореме Фалеса AC=AD
и AE=BE
. Из равенства CD=AB
следует, что
AC=DA=BE=AE.
Обозначим длину любого из этих отрезков через a
. Поскольку AN\parallel EM
, а треугольник AED
равнобедренный, то
\angle CAN=\angle EDA=\angle AED=\angle BAN,
поэтому AN
— биссектриса треугольника ABC
. Значит, 2\angle CAN=\angle CAB
.
В треугольнике ABC
имеем
BC=12,~CA=a,~AB=2a,~\angle CAB=2\angle CAN.
По теореме косинусов
144=a^{2}+4a^{2}-2\cdot a\cdot2a\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)~\Leftrightarrow~a^{2}=24.
Следовательно,
AB=2a=4\sqrt{6}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023-2024, заключительный этап, 9 класс, задача 3, вариант 9