16760. AH
— высота равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC
). Точка M
— середина стороны AB
. Из точки M
опущен перпендикуляр MK
на сторону AC
. Найдите периметр треугольника ABC
, если AH=MK
, и AK=5
.
Ответ. 100.
Решение. Пусть AK=t
. Треугольник ABC
равнобедренный, поэтому, \angle MAK=\angle ACH
. Тогда треугольники MAK
и ACH
равны катету MK=AH
и противолежащему острому углу. Значит,
AC=AM=\frac{1}{2}AB.
Проведём высоту BO
треугольника ABC
. По теореме Фалеса AK:KO=AM:MB
, поэтому
AO=2AK=2t~\Rightarrow~AC=2AO=4t,~AB=2AC=8t.
Значит, периметр равен
8t+8t+4t=20t=100.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023-2024, заключительный этап, 9 класс, задача 3, вариант 15