16762. Остроугольный треугольник ABC
площади 80 вписан в окружность с центром O
, а AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— его высоты. Найдите площадь треугольника BOA_{1}
, если площади треугольников COB_{1}
и AOC_{1}
равны 12 и 20 соответственно.
Ответ. 8.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон BC
и AC
соответственно. Заметим, что треугольники BAA_{1}
и OAN
подобны как прямоугольные с равными острыми углами (\angle ABA_{1}=\frac{1}{2}\angle AOC=\angle AON
). Прямоугольные треугольники AB_{1}B
и OMC
также подобны (\angle BAB_{1}=\frac{1}{2}\angle BOC=\angle COM
). Значит,
\frac{BA_{1}}{ON}=\frac{AB}{AO}~\mbox{и}~\frac{AB}{OM}=\frac{AB}{CO}.
Разделив первое равенство на второе, получаем BA_{1}\cdot OM=AB_{1}\cdot ON
, а так как BA_{1}\cdot OM
есть удвоенная площадь треугольника OBA_{1}
, а AB_{1}\cdot ON
— удвоенная площадь треугольника OAB_{1}
, то S_{\triangle OBA_{1}}=S_{\triangle OAB_{1}}
. Аналогично получаем равенства
S_{\triangle OAC_{1}}=S_{\triangle OCA_{1}}~\mbox{и}~S_{\triangle OCB_{1}}=S_{\triangle OBC_{1}}.
Треугольник ABC
разбивается на три пары треугольников равной площади. Следовательно,
\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=S_{\triangle COB_{1}}+S_{\triangle BOA_{1}}+S_{\triangle AOC_{1}}~\Rightarrow
\Rightarrow~S_{\triangle BOA_{1}}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}-S_{\triangle COB_{1}}-S_{\triangle BOC_{1}}=8.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023-2024, заключительный этап, 9 класс, задача 5, вариант 15