16764. Для выпуклого четырёхугольника ABCD
выполняется свойство: проекции противоположных сторон на одну диагональ имеют равные длины, и проекции противоположных сторон на вторую диагональ имеют равные длины (проекции лежат на диагоналях). Какое наибольшее значение может принимать \angle ABC
, если \angle BCD=55^{\circ}
?
Ответ. \angle ABC=125^{\circ}
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
. Обозначим \angle BAO=\alpha
, \angle DCO=\beta
, \angle AOD=\gamma
.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ABO=\gamma-\alpha,~\angle CDO=\gamma-\beta.
Из условия получаем, что
AB\cos\alpha=CD\cos\beta~\mbox{и}~AB\cos(\gamma-\alpha)=CD\cos(\gamma-\beta),
поэтому
\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}=\frac{\cos(\gamma-\alpha)}{\cos(\gamma-\beta)}.
Если \alpha\gt\beta
, то \gamma-\alpha\lt\gamma-\beta
. Из монотонности косинуса получаем, что тогда
\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}\lt1~\mbox{и}~\frac{\cos(\gamma-\alpha)}{\cos(\gamma-\beta)}\gt1.
Противоречие. Аналогично, невозможно и неравенство \alpha\lt\beta
. Значит, \alpha=\beta
.
Тогда стороны AB
и CD
параллельны. Кроме того, они равны, так как равны их проекции. Значит, четырёхугольник ABCD
— параллелограмм. Следовательно,
\angle ABC=180^{\circ}-\angle BCD=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2020, третий этап, 11 класс, задача 4, вариант 1