16766. В остроугольном треугольнике ABC
разность углов при вершинах A
и B
равна 20^{\circ}
(угол A
больше угла B
). Пусть CH
— высота треугольника ABC
. Точка P
симметрична точке A
относительно прямой BC
. Прямая CH
вторично пересекает окружность, описанную около треугольника ACP
, в точке K
. Прямая KP
пересекает отрезок AB
в точке M
. Найдите угол BCM
.
Ответ. 20^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle AKC=\alpha
и \angle MKC=\beta
.
Докажем сначала, что AC=CM
. Поскольку CH
— высота треугольника ACM
, равенство равносильно тому, что CH
— серединный перпендикуляр к отрезку AM
, т. е. тому, что KH
— серединный перпендикуляр к отрезку AM
. В свою очередь, это равносильно тому, что AK=KM
, т. е. равенству \angle AKH=\angle MKH
, т. е.
\angle AKC=\alpha=\angle CKP=\beta.
Поскольку \alpha=\angle CPA
(как вписанные углы, опирающиеся на дугу AC
) и \beta=\angle CAP
(как вписанные углы, опирающиеся на дугу CP
). Наконец, по условию точки A
и P
симметричны относительно прямой CB
, поэтому AC=CP
, и тогда
\alpha=\angle CPA=\beta=\angle CAP.
Таким образом, треугольник ACM
равнобедренный (AC=CM
). Тогда
\angle BCM=180^{\circ}-\angle CAB-\angle CBA-\angle ACM=
=180^{\circ}-\angle CAB-\angle CBA-(180^{\circ}-2\angle CAB)=\angle CAB-\angle CBA=20^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2020, четвёртый этап, 11 класс, задача 2, вариант 1