16768. На стороне AC
треугольника ABC
выбрана точка D
. Известно, что расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABD
и CBD
в два раза больше AC
. Найдите угол между прямыми AC
и DB
.
Ответ. \arcsin\frac{1}{4}
.
Решение. Без ограничения общности будем считать что угол ADB
острый.
Обозначим \angle BAC=\alpha
и \angle BCA=\gamma
. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры описанных окружностей треугольников ABD
и BDC
соответственно. Треугольники O_{1}BO_{2}
и O_{1}DO_{2}
равны по трём сторонам, поэтому O_{1}O_{2}
— биссектриса угла BO_{1}D
. Тогда \angle BO_{1}O_{2}=\frac{1}{2}\angle BO_{1}D
. В то же время, \angle BO_{1}D=2\angle BAC
(центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного). Значит,
\angle BO_{1}O_{2}=\angle BAC=\alpha.
Аналогично, \angle BO_{2}O_{1}=\gamma
. Следовательно, треугольники ABC
и O_{1}BO_{2}
подобны по двум углам.
Обозначим O_{1}B=R
. Из подобия треугольников ABC
и O_{1}BO_{2}
получаем, что
\frac{AB}{R}=\frac{AB}{O_{1}B}=\frac{AC}{O_{1}O_{2}}=\frac{AC}{2AC}=\frac{1}{2}~\Rightarrow~AB=\frac{R}{2}.
По теореме синусов из треугольника ABD
получаем, что
\sin\angle ADB=\frac{AB}{2R}=\frac{\frac{R}{2}}{2R}=\frac{1}{4}.
Следовательно, \angle ADB=\arcsin\frac{1}{4}
.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2020, третий этап, 10 класс, задача 4, вариант 1