16772. а) Две окружности одинакового радиуса 13 пересекаются в точках A
и B
. На первой окружности выбрана точка C
, а на второй — точка D
. Оказалось, что точка B
лежит на отрезке CD
, а \angle CAD=90^{\circ}
. На перпендикуляре к CD
, проходящем через точку B
, выбрана точка F
так, что BF=BD
(точки A
и F
расположены по одну сторону от прямой CD
). Найдите длину отрезка CF
.
б) Пусть дополнительно известно, что BC=10
. Найдите площадь треугольника ACF
.
Ответ. CF=26
; S_{\triangle ACF}=119
.
Решение. а) Пусть R=13
— радиусы данных в условии окружностей, \angle BAD=\alpha
, \angle BCF=\beta
. Тогда \angle BAC=90^{\circ}-\alpha
.
По теореме синусов
BD=2R\sin\alpha,~BC=2R\sin(90^{\circ}-\alpha)=2R\cos\alpha,
Значит,
CF^{2}=BC^{2}+BF^{2}=BC^{2}+BD^{2}=4R^{2}\cos^{2}\alpha+4R^{2}\sin^{2}\alpha=4R^{2},
откуда CF=2R=26
.
б) Поскольку
\tg\beta=\frac{BF}{BC}=\frac{BD}{BC}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tg\alpha,
то \beta=\alpha
.
Заметим, что
\cos\beta=\frac{BC}{FC}=\frac{10}{26}=\frac{5}{13}\lt\frac{\sqrt{2}}{2},
поэтому \beta\gt45^{\circ}
.
Вписанные в равные окружности углы ADC
и ACD
опираются на одну и ту же хорду AB
, поэтому они равны. Из прямоугольного треугольника ACD
находим, что
\angle ADC=\angle ACD=45^{\circ}~\Rightarrow~\angle ABC=180^{\circ}-45^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=45^{\circ}+\alpha,
поэтому AC=2R\sin(45^{\circ}+\alpha)
. Следовательно,
S_{\triangle ACF}=\frac{1}{2}CA\cdot CF\cdot\sin\angle ACF=\frac{1}{2}\cdot2R\sin(45^{\circ}+\alpha)\cdot2R\sin(\beta-45^{\circ})=
=2R^{2}\sin(45^{\circ}+\alpha)\sin(\alpha-45^{\circ})=2R^{2}\sin(45^{\circ}+\alpha)\cos(\alpha+45^{\circ})=
=-R^{2}\sin(90^{\circ}+2\alpha)=-R^{2}\cos2\alpha=R^{2}(1-2\cos^{2}\alpha)=169\left(1-2\cdot\frac{25}{169}\right)=119.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2020, заключительный этап, 10 класс, задача 6, вариант 4