16778. Вершину A
прямоугольника ABCD
соединили отрезками с серединами сторон BC
и CD
. Мог ли один из этих отрезков оказаться вдвое длиннее другого?
Ответ. Не мог.
Решение. Пусть N
— середина BC
, M
— середина CD
. Не умаляя общности, можно считать, что AM\gt AN
. Предположим, что AM=2AN
.
Первый способ. Продлим отрезок AN
до пересечения с прямой CD
в точке K
. Из равенства прямоугольных треугольников KCN
и ABN
следует, что KN=AN
. Тогда AK=AM
. Треугольник AKM
равнобедренный, поэтому \angle AKM=\angle AMK
, а так как угол AMK
тупой (как смежный с острым углом AMD
), получаем противоречие (угол при основании равнобедренного треугольника не может быть тупым).
Можно также отметить середину P
отрезка AM
и провести аналогичное рассуждение для треугольника ANP
.
Второй способ. Пусть BN=a
и DM=b
. Тогда AD=2a
и AB=2b
. Из прямоугольных треугольников ADM
и ABN
по теореме Пифагора получим
AM=\sqrt{4a^{2}+b^{2}},~AN=\sqrt{4b^{2}+a^{2}}.
Из нашего предположения следует, что AM^{2}=4AN^{2}
, т. е.
4a^{2}+b^{2}=16b^{2}+4a^{2},
откуда b=0
, что невозможно.
Противоречие можно получить и так:
MN=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\lt AN\lt\sqrt{a^{2}+4b^{2}},
поэтому
AN+MN\lt2AN=AM,
что противоречит неравенству треугольника.
Источник: Московская математическая регата. — 2024, 8 класс, задача 1.2