16779. На сторонах CD
и AD
квадрата ABCD
отмечены точки K
и M
соответственно, причём MK=CK
. Перпендикуляр к MK
, проходящий через точку M
, пересекает AB
в точке N
. Докажите, что расстояние от точки C
до прямой MN
равно стороне квадрата.
Решение. Пусть P
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины C
на прямую MN
.
Первый способ. Из точки K
опустим перпендикуляр KQ
на прямую CP
. Тогда KMPQ
— прямоугольник, поэтому PQ=MK
. Кроме того,
\angle CKQ+\angle MKD=90^{\circ}~\Rightarrow~\angle CKQ=\angle KMD.
Тогда прямоугольные треугольники CKQ
и KMD
равны по гипотенузе и острому углу. Значит, CQ=KD
. Следовательно,
CP=PQ+CQ=MK+KD=CK+KD=CD.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Проведём отрезок CM
. Из параллельности CP
и MK
следует, что то \angle PCM=\angle KMC
. Треугольник KMC
равнобедренный, поэтому \angle KMC=\angle KCM
. Тогда прямоугольные треугольники CPM
и CDM
равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, CP=CD
.
Источник: Московская математическая регата. — 2024, 8 класс, задача 2.2