1678. Докажите, что дуги окружности, заключённые между параллельными хордами, равны.
Указание. Докажите, что при симметрии относительно диаметра, перпендикулярного данным хордам, одна из указанных дуг перейдёт в другую.
Решение. Пусть AB
и CD
— две параллельные хорды окружности с центром O
. Через точку O
проведём прямую l
, перпендикулярную этим хордам. Пусть при этом точки A
и C
лежат по одну сторону от прямой l
. Поскольку окружность симметрична относительно каждого своего диаметра, то при симметрии относительно прямой l
точка A
перейдёт в точку B
, а точка C
— в точку D
.
Каждая точка дуги AC
, лежащая между параллельными прямыми AB
и CD
, перейдёт в точку дуги BD
, также лежащую между этими прямыми. Таким образом, при симметрии относительно прямой l
одна из рассматриваемых дуг перейдёт в другую. Следовательно, эти дуги равны.
Примечание. Верно и обратное: если точки A
, C
, D
и B
последовательно расположены на окружности, и при этом дуга AC
, не содержащая точки B
, и дуга BD
, не содержащая точки A
, равны, то хорды AB
и CD
параллельны.