16781. В треугольнике ABC
проведена медиана BM
. Найдите угол ABM
, если \angle BAC=30^{\circ}
, \angle BCA=105^{\circ}
.
Ответ. 15^{\circ}
.
Решение. Первый способ. На луче AC
отметим точку D
, для которой BD=BC
. Тогда
\angle BDC=\angle BCD=180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}.
Из треугольника ABD
получим, что
\angle ABD=180^{\circ}-30^{\circ}-75^{\circ}=75^{\circ}=\angle ADB,
поэтому AD=AB
.
Опустим перпендикуляр BE
на прямую AD
. Из прямоугольного треугольника ABE
получим, что BE=\frac{1}{2}AB
, а так как BE
— высота равнобедренного треугольника BCD
, проведённая к основанию, то BE
— медиана этого треугольника, т. е. E
— середина CD
. Значит,
ME=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}AB=BE.
Тогда \angle BME=45^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABM=\angle BME-\angle BAM=45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}.
Второй способ. Проведём в данном треугольнике высоту CH
. Тогда
\angle ACH=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ},~\angle BCH=105^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ}.
Прямоугольный треугольник BCH
равнобедренный, BH=CH
, а так как HM
— медиана прямоугольного треугольника AHC
, проведённая к гипотенузе, то HM=AM=CM
. Кроме того, \angle MCH=60^{\circ}
, поэтому треугольник MCH
равносторонний. Значит, HM=HC=HB
. Следовательно, из равнобедренного треугольника BHM
получаем, что
\angle ABM=\angle HBM=\frac{180^{\circ}-\angle BHM}{2}=15^{\circ}.
Источник: Московская математическая регата. — 2024, 8 класс, задача 4.2