16782. Через точку A
окружности с центром O
проведена касательная, а через точку B
, также лежащую на окружности, проведён луч OB
, пересекающий эту касательную в точке E
. Из точки A
опущен перпендикуляр AC
на OB
, а из точки B
— перпендикуляр BD
на AE
. Докажите, что BC=BD
.
Решение. Пусть \angle AOB=2\alpha
. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой \angle DAB=\alpha
. В равнобедренном треугольнике AOB
известно, что
\angle ABO=\angle BAO=90^{\circ}-\alpha,
поэтому
\angle CAB=\alpha=\angle DAB.
Таким образом, прямоугольные треугольники ABC
и ABD
равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, BC=BD
.
Источник: Московская математическая регата. — 2023, 9 класс, задача 2.2