16787. На основании AC
равнобедренного треугольника ABC
отмечена точка P
, для которой AP=AB
. На стороне AB
отмечена точка Q
, для которой PQ=PB
. Докажите, что AQ=CP
.
Решение. Обозначим \angle BPA=\alpha
и \angle BAC=\beta
. Из условия задачи следует, что
BC=AB=AP,~\angle BPA=\angle PBA=\angle BQP=\alpha~\mbox{и}~\angle BCA=\angle BAC=\beta
(см. рис.). Докажем равенство треугольников AQP
и CPB
, из которого и будет следовать, что AQ=CP
. В этих треугольниках AP=BC
и QP=PB
.
Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Используя теорему о внешнем угле для треугольников AQP
и CPB
получим, что
\angle APQ=\alpha-\beta=\angle CBP.
Следовательно, треугольники AQP
и CPB
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AQ=CP
. Что и требовалось.
(Учитывая, что \angle AQP=180^{\circ}-\alpha=\angle CPB
, можно также доказывать равенство треугольников AQP
и CPB
по стороне и двум прилежащим углам.)
Второй способ. Поскольку
\angle QAP=\angle PCB=\beta,
то либо треугольники AQP
и CPB
равны, либо
\angle AQP+\angle CPB=180^{\circ}
(«четвёртый признак» равенства, см. задачу 10280). Покажем, что второй случай невозможен.
Действительно, \angle AQP\gt90^{\circ}
(как смежный с углом при основании BQ
равнобедренного треугольника BPQ
, а также \angle CPB\gt90^{\circ}
(как как смежный с углом при основании BP
равнобедренного треугольника BAP
). Таким образом, треугольники AQP=CPB
равны. Следовательно, AQ=CP
. Что и требовалось.
Источник: Московская математическая регата. — 2023, 7 класс, задача 2.2