16788. В треугольнике ABC
биссектрисы углов A
и B
и медиана, проведённая из вершины C
, образовали равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 90^{\circ}
, 60^{\circ}
, 30^{\circ}
.
Решение. Пусть I
— точка пересечения заданных биссектрис, CM
— медиана, P
и Q
— точки пересечения медианы с биссектрисами, PIQ
— равнобедренный прямоугольный треугольник, указанный в условии (см. рис.).
Поскольку
\angle AIB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB\gt90^{\circ}
(см. задачу 4770), угол I
треугольника PIQ
прямым быть не может. Тогда, без ограничения общности, можно считать, что \angle IPQ=90^{\circ}
. Значит, \angle AIB=135^{\circ}
.
Из равенства
90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB=135^{\circ}
получаем, что \angle ACB=90^{\circ}
.
Поскольку AP
— биссектриса и высота треугольника CAM
, этот треугольник равнобедренный, поэтому
AC=AM=\frac{1}{2}AB.
Катет AC
прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Следовательно,
\angle ABC=30^{\circ},~\angle BAC=60^{\circ}.
Источник: Московская математическая регата. — 2023, 7 класс, задача 3.2