1679. Докажите, что хорды, удалённые от центра окружности на равные расстояния, равны.
Указание. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам
Решение. Если данные хорды проходят через центр окружности, то утверждение очевидно.
Пусть AB
и A_{1}B_{1}
— хорды окружности с центром O
, удалённые на одинаковые положительные расстояния от точки O
. Расстояния от центра окружности до этих хорд равны перпендикулярам OM
и OM_{1}
, опущенным на хорды из центра окружности. Высоты OM
и OM_{1}
равнобедренных треугольников AOB
и A_{1}OB_{1}
являются их медианами, поэтому точки M
и M_{1}
— середины хорд. Прямоугольные треугольники AMO
и A_{1}M_{1}O
равны по катету и гипотенузе (радиус окружности). Поэтому AM=AM_{1}
. Следовательно, AB=A_{1}B_{1}
.