16791. Прямая пересекает четыре равных равносторонних треугольника, стоящих в ряд (см. рисунок). Найдите сумму площадей закрашенных частей, если площадь каждого треугольника равна 6.
Ответ. 7.
Решение. Проведём прямую, на которой лежат «верхние» вершины данных треугольников и заметим, что между каждой парой соседних данных треугольников лежит равный им равносторонний треугольник. Введём обозначения так, как показано на рис. 1, построив на стороне AB
ещё один такой же треугольник. Поскольку точки B
, D
и F
делят отрезок PH
на четыре равные части, а отрезки PA
, BC
, DE
, FG
и HQ
параллельны, то треугольники ABK
, LDC
и MFN
подобны по двум углам, причём PA:BK:DO:FN=4:3:2:1
. Следовательно, площади этих треугольников относятся как 9:4:1
. При этом
S_{\triangle ABK}=\frac{3}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{4}\cdot6=\frac{9}{2},
Значит,
S_{\triangle LDO}=\frac{4}{9}S_{\triangle ABK}=\frac{4}{9}\cdot\frac{9}{2}=2,~S_{\triangle MFN}=\frac{1}{4}S_{\triangle LDO}=\frac{1}{4}\cdot2=\frac{1}{2}.
Таким образом, искомая сумма площадей равна
\frac{9}{2}+2+\frac{1}{2}=7.
Примечание. Заметим, что APHQ
— параллелограмм, разбитый на восемь равных треугольников, поэтому площадь треугольника AHP
равна \frac{6\cdot8}{2}=24
. Это может помочь, если вычислять площади закрашенных треугольников другими способами.
Источник: Московская математическая регата. — 2023, 11 класс, задача 3.2