16796. Три квадрата расположены так, как показано на рисунке. Найдите угол между прямыми AB
и CD
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Обозначим сторону большего квадрата через a
, а сторону меньшего — через b
. Расположим ещё один квадрат со стороной a
так, как показано на рис. 1, введём обозначения некоторых точек и проведём отрезки CE
и CF\perp BE
. Тогда
GE=a+b,~GF=AC=a~\Rightarrow~EF=a+b-a=b,~CF=AG=a+b.
Три прямоугольных треугольника: CFE
, AGB
и EGD
равны по двум катетам. Из равенства этих трёх треугольников следует, что
CE=AB=ED,
а из равенства треугольников CFE
и AGB
следует, что \angle CEF=\angle ABG
. Значит, прямые CE
и AB
параллельны, поэтому они образуют одинаковые углы с прямой CD
.
Кроме того, из равенства треугольников CFE
и EGD
следует, что
\angle GED=\angle FCE=90^{\circ}-\angle CEF,
поэтому треугольник CED
прямоугольный и равнобедренный. Тогда угол между прямыми CE
и CD
равен 45^{\circ}
и равен искомому.
Возможны и другие дополнительные построения, аналогичные приведённому выше.
Источник: Московская математическая регата. — 2024, 7 класс, задача 4.2