16797. Внутри прямоугольника расположены две полуокружности диаметра 2, каждая из которых касается другой полуокружности и двух сторон прямоугольника (см. рисунок). Найдите длину его диагонали.
Ответ. 2\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{2}+\sqrt{6}
.
Решение. Пусть P
и Q
— центры полуокружностей, K
— точка касания со стороной AD
полуокружности с центром P
. Тогда PK=1
(рис. 1). Точка касания полуокружностей лежит на прямой PQ
, поэтому PQ=2
.
Из прямоугольного треугольника PQK
получаем, что KQ=\sqrt{3}
. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Поскольку ABPK
— квадрат, то AK=DQ=1
, поэтому AD=2+\sqrt{3}
. Поскольку BD
— диагональ прямоугольника ABCD
, то
BD=\sqrt{AD^{2}+AB^{2}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^{2}+1}=2\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{2}+\sqrt{6}.
Второй способ. Точка M
касания полуокружностей — их центр симметрии, а также центр симметрии прямоугольника, т. е. M
— середина его диагонали BD
. По теореме о касательной и секущей
DK^{2}=DB\cdot DM=\frac{1}{2}DB^{2}~\Rightarrow~DB=DK\sqrt{2}=(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{6}.
Третий способ. Заметим, что угол между диагональю DB
прямоугольника ABCD
и стороной DA
равен 15^{\circ}
как половина внешнего угла PQK
равнобедренного треугольника MDQ
. Следовательно,
DB=\frac{AB}{\sin\angle ADB}=\frac{1}{\sin15^{\circ}}=\frac{2}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}=2\sqrt{2+\sqrt{3}}.
Источник: Московская математическая регата. — 2024, 9 класс, задача 1.2