16803. Из точки A
проведена к окружности касательная AB
и секущая AC
(точки B
и C
лежат на окружности); D
— вторая точка пересечения AC
с окружностью (см. рисунок), M
— середина AB
. Отрезок CM
пересекает окружность в точке K
. Найдите угол MAK
, если \angle DCK=18^{\circ}
.
Ответ. 18^{\circ}
.
Решение. Из точки M
к окружности проведены касательная MB
и секущая MC
. Тогда, по теореме о касательной и секущей MC\cdot MK=MB^{2}
. Поскольку M
— середина отрезка AB
, то MB=MA
, а равенство MC\cdot MK=MA^{2}
равносильно пропорции \frac{MC}{MA}=\frac{MA}{MK}
.
В треугольниках MAK
и MCA
есть общий угол при вершине M
, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны. Значит, эти треугольники подобны. Следовательно,
\angle MAK=\angle MCA=18^{\circ}.
Источник: Московская математическая регата. — 2024, 10 класс, задача 3.2