16804. На стороне AB
квадрата ABCD
отмечена точка E
. Расстояния от вершин B
и D
до прямой CE
равны m
и n
. Найдите сторону квадрата.
Ответ. \sqrt{m^{2}+n^{2}}
.
Решение. Проведём перпендикуляры BB_{1}=m
и DD_{1}=n
из точек B
и D
на прямую CE
. Заметим, что
\angle BCB_{1}+\angle DCD_{1}=90^{\circ}.
Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Поскольку
\angle BCB_{1}=\angle CDD_{1}~\mbox{и}~BC=CD,
прямоугольные треугольники BCB_{1}
и DCD_{1}
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому CB_{1}=DD_{1}=n
. По теореме Пифагора из треугольника BCB_{1}
находим, что
BC=\sqrt{BB_{1}^{2}+CB_{1}^{2}}=\sqrt{m^{2}+n^{2}}.
Второй способ. Пусть \angle BCB_{1}=\alpha
и BC=a
. Тогда
\angle DCD_{1}=90^{\circ}-\alpha.
Из прямоугольных треугольников BCB_{1}
и DCD_{1}
получаем
m=BC\sin\alpha~\mbox{и}~n=CD\sin(90^{\circ}-\alpha)=CD\cos\alpha.
Значит,
m^{2}+n^{2}=(BC\sin\alpha)^{2}+(CD\cos\alpha)^{2}=a^{2}(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)=a^{2}.
Следовательно,
BC=a=\sqrt{m^{2}+n^{2}}.
Источник: Московская математическая регата. — 2024, 10 класс, задача 5.2