16805. В треугольнике ABC
, угол A
равен 60^{\circ}
. Вписанная в треугольник окружность радиуса r
касается стороны BC
в точке K
. Докажите, что AK\leqslant3r
.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, F
— точка её касания со стороной AC
. Поскольку \angle IAF=30^{\circ}
, в прямоугольном треугольнике AIF
гипотенуза AI=2r
. Следовательно, по неравенству треугольника
AK\leqslant AI+IK=2r+r=3r.
Равенство достигается, если точка I
лежит на отрезке AK
. В этом случае треугольник ABC
равносторонний
Источник: Московская математическая регата. — 2024, 11 класс, задача 1.2