16806. Найдите радиус окружности, в которую вписан четырёхугольник с последовательными сторонами, равными 7, 7, 5 и 3.
Ответ. \frac{7\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Пусть ABCD
— данный четырёхугольник. Проведём диагональ AC
и пусть \angle ABC=\beta
. Тогда по свойству вписанного четырёхугольника \angle ADC=180^{\circ}-\beta
. По теореме косинусов из треугольников ABC
и ADC
получаем
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2ASB\cdot BC\cos\beta=AD^{2}+DC^{2}-2AD\cdot DC\cos(180^{\circ}-\beta)=
=AD^{2}+DC^{2}+2AD\cdot DC\cos\beta,
или
98-98\cos\beta=34+30\cos\beta,
откуда находим, что \cos\beta=\frac{1}{2}
. Тогда \beta=60^{\circ}
, поэтому равнобедренный треугольник ABC
— равносторонний. Радиус R
описанной окружности четырёхугольника ABCD
равен радиусу описанной окружности равностороннего треугольника ABC
со стороной 7, т. е. R=\frac{7\sqrt{3}}{3}
.
Отметим, что если использовать теорему косинусов для треугольников ABD
и CBD
, то \cos\angle BCD=\frac{1}{7}
, а BD=8
. Тогда искомый радиус вычисляется по теореме синусов, т. е.
R=\frac{BD}{2\sin\angle BCD}.
Источник: Московская математическая регата. — 2024, 11 класс, задача 2.2