16807. Дан пятиугольник ABCDE
, в котором AB=DE
, \angle A=\angle E=45^{\circ}
, BC\perp CD
, AE=10
, BC+CD=6
(см. рисунок). Найдите площадь пятиугольника.
Ответ. 16.
Решение. Пусть прямые AB
и ED
пересекаются в точке O
. Тогда
S_{ABCDE}=S_{\triangle AOE}-S_{BCDO}.
Из треугольника AOE
получаем
OA=OE=\frac{AE}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}~\Rightarrow~S_{\triangle AOE}=\frac{1}{2}OA\cdot OE=25.
Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Пусть OB=OD=x
. Тогда S_{\triangle BOD}=\frac{1}{2}x^{2}
. Кроме того,
BD^{2}=2x^{2}=BC^{2}+CD^{2}=(BC+CD)^{2}-2BC\cdot CD=36-4S_{\triangle BCD},
откуда
S_{\triangle BCD}=\frac{1}{4}(36-2x^{2})=9-\frac{1}{2}x^{2}.
Значит,
S_{BCDO}=S_{\triangle BOD}+S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}x^{2}+\left(9-\frac{1}{2}x^{2}\right)=9,
Следовательно,
S_{ABCDE}=25-9=16.
Второй способ. Из точки O
опустим перпендикуляры OP
и OQ
на прямые BC
и CD
соответственно. Тогда POQC
— прямоугольник. Кроме того, углы POB
и QOD
равны, так как оба дополняют угол POQ
до прямого. Значит, равны треугольники POB
и QOD
. Следовательно, PB=QD
, поэтому
CP=CQ=\frac{1}{2}(BC+CD)=3.
Таким образом, площадь BCDO
равна площади квадрата POQC
, которая равна 9, а так как S_{\triangle AOE}=25
(см. выше), то
S_{ABCDE}=S_{\triangle AOE}-S_{BCDO}=25-9=16
Равенство треугольников POB
и QOD
можно также обосновать, используя поворот с центром O
на 90^{\circ}
.
Источник: Московская математическая регата. — 2024, 11 класс, задача 3.2