16809. Дан угол с вершиной O_{1}
. Провели окружность с центром в точке O_{1}
, она пересекает стороны угла в точках A
и B
. Потом провели касательные к окружности в точках A
и B
, они пересекались в точке O_{2}
. Построили вторую окружность с центром O_{2}
и радиусом O_{2}A
и провели касательные в точках A
и B
. Эти касательные пересеклись в точке O_{3}
. Затем построили окружность с центром O_{3}
, и т. д.. Так проделали 1001 раз. Найдите угол AO_{10001}B
, если \angle AO_{1}B=60^{\circ}
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Поскольку касательные перпендикулярны радиусам, проведённым в точках касания, то AO_{1}\perp AO_{2}
и BO_{1}\perp BO_{2}
. Значит, касательные ко второй окружности совпадут с прямыми O_{1}A
и O_{1}B
. Тогда точка O_{3}
совпадёт с O_{1}
. Аналогично, точка O_{5}
совпадёт с O_{3}
и т. д.. Следовательно, точка O_{1001}
совпадёт с O_{1}
, а тогда
\angle AO_{1001}B=\angle AO_{1}B=60^{\circ}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2012-2013, 7 класс, задача 3