16811. Найдите наименьшее значение выражения
2\sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{(x-2)^{2}+4}+\sqrt{(x-3)^{2}+16}.
Ответ. 5\sqrt{5}
.
Решение. Рассмотрим на координатной плоскости точки A(0;2)
, B(2;-2)
, C(3;-4)
и X(x;0)
. Тогда выражение из условия задачи примет вид 2AX+BC+CX
. Заметим, что точки A
, B
и C
лежат на одной прямой, так как координаты векторов \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{AC}
пропорциональны, т. е.
\frac{2-0}{-2-2}=-\frac{1}{2}=\frac{3-0}{-4-2}.
Значит, сумма 2AX+BC+CX
будет минимальна в случае, когда точка X
тоже лежит на этой прямой, а так как точка X
лежит на оси абсцисс, то это точка пересечения оси абсцисс с прямой AB
. Тогда x=1
. Следовательно, наименьшее значение выражения 2AX+BC+CX
равно его значению при x=1
, т. е.
2\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{20}=5\sqrt{5}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2012-2013, 8 класс, задача 8