16813. Найдите наименьшее значение выражения
\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{(a-3)^{2}+(b-3)^{2}}+2\sqrt{(a-3)^{2}+(b+1)^{2}}+2\sqrt{(a+1)^{2}+(b-3)^{2}}.
Ответ. 11\sqrt{2}
.
Решение. Отметим на координатной плоскости точки A(0;0)
, A(-1;3)
, C(3;3)
и D(3;-1)
. Тогда данное выражение есть сумма
AX+CX+2DX+2BX=AX+CX+2(DX+BX),
где X
— точка с координатами (a;b)
.
Слагаемое AX+CX
будет наименьшим, если точка X
лежит на отрезке AC
, а слагаемое 2(DX+BX)
будет наименьшим, если точка X
лежит на отрезке BD
. Значит, общая сумма будет наименьшей, если X
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
, т. е. точка пересечения прямых b=a
(прямая AC
) и b=2-a
(прямая BD
).
Из уравнения a=2-a
получаем, что a=1
. Тогда b=1
. Следовательно, наименьшее значение данного выражения достигается в точке с координатами (1;1) и равно
\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{(a-3)^{2}+(b-3)^{2}}+2\sqrt{(a-3)^{2}+(b+1)^{2}}+2\sqrt{(a+1)^{2}+(b-3)^{2}}=
=\sqrt{1^{2}+1^{2}}+\sqrt{2^{2}+2^{2}}+2\sqrt{2^{2}+2^{2}}+2\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}+4\sqrt{2}+4\sqrt{2}=11\sqrt{2}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2012-2013, 9 класс, задача 3