16822. Кратчайшее расстояние от вершины B
треугольника ABC
до точек противолежащей стороны равно 12. Найдите стороны AB
и BC
этого треугольника, если \sin\angle C=\frac{\sqrt{3}}{2}
и AC=5
.
Ответ. Одна сторона равна 12, а другая равна либо \frac{5+\sqrt{105}}{2}
, либо \sqrt{229}
.
Решение. Рассмотрим три возможных случая.
1. Угол A
острый, а угол и C
острый или прямой. Тогда основание H
высоты BH
лежит на стороне AC
или совпадает с A
, \angle C=60^{\circ}
, и кратчайшее расстояние от вершины B
до стороны AC
равно высоте, т. е. BH=12
. Но в этом случае
CH=12\ctg60^{\circ}=4\sqrt{3}\gt5=AC.
Противоречие.
2. Угол A
тупой, а угол C
острый. Тогда \angle C=60^{\circ}
, а кратчайшее расстояние от вершины B
до стороны AC
равно стороне AB
, т. е. AB=12
. По теореме косинусов
144=25+BC^{3}-5BC~\Rightarrow~BC=\frac{5+\sqrt{105}}{2}
(второй корень квадратного уравнения отрицателен).
3. Угол A
острый, а угол C
тупой. Тогда \angle C=120^{\circ}
, а кратчайшее расстояние от вершины B
до стороны AC
равно стороне BC
, т. е. BC=12
. По теореме косинусов находим, что
AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}+BC\cdot AC}=\sqrt{144+25+12\cdot5}=\sqrt{229}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2012-2013, март 2013, закл. тур, 11 класс, задача 4, вариант 1-3