16823. Высоты остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке O
. Найдите угол ACB
, если AB:OC=2
.
Ответ. \arctg2
Решение. Пусть BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
. Поскольку
\angle ABB_{1}=\angle ACC_{1}=\angle OCB_{1},
прямоугольные треугольники AB_{1}B
и OB_{1}C
подобны. Значит,
2=\frac{AB}{OC}=\frac{BB_{1}}{CB_{1}}=\tg\angle BCB_{1}=\tg\angle ACB.
Следовательно, \angle ACB=\arctg2
.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2012-2013, март 2013, закл. тур, 11 класс, задача 3, вариант 2-1