16827. Окружность касается одной из сторон угла с вершиной A
в точке B
и пересекает вторую сторону в точках C
и D
, причём AD
в три раза меньше AC
. Косинус угла A
равен \frac{\sqrt{3}}{4}
. Найдите
а) отношение BC
к BD
;
б) отношение радиуса окружности к BD
.
Ответ. а) \sqrt{3}:1
; б) \sqrt{10}:\sqrt{13}
.
Решение. а) Из условия задачи следует что точка D
лежит между A
и C
. Положим AD=x
и AC=3x
. По теореме о касательной и секущей
AB=\sqrt{AD\cdot AC}=\sqrt{x\cdot3x}=x\sqrt{3}.
Обозначим \angle BAC=\alpha
и \angle ABD=\angle ACB=\beta
(см. теорему об угле между касательной и хордой). Треугольники ABC
и ADB
с общим углом при вершине A
подобны по двум углам. Следовательно,
\frac{BC}{DB}=\frac{AC}{AB}=\frac{3x}{x\sqrt{3}}=\sqrt{3}.
б) Пусть радиус окружности равен R
. По теореме синусов
BD=2R\sin\angle BCD=2R\sin ACB=2R\sin\beta,
Поэтому
\frac{R}{BD}=\frac{R}{2R\sin\beta}=\frac{1}{2\sin\beta}.
Таким образом, задача сводится к вычислению \frac{1}{2\sin\beta}
.
Далее находим, что
\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^{3}}=\frac{\sqrt{13}}{4},
а так как CDB
— внешний угол треугольника ADB
, то \angle CDB=\alpha+\beta
. По теореме синусов из треугольника BCD
получаем
\frac{BD}{\sin\beta}=\frac{BC}{\sin(\alpha+\beta)}~\Rightarrow~\frac{BD}{\sin\beta}=\frac{BD\sqrt{3}}{\sin(\alpha+\beta)}~\Rightarrow~\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sqrt{3}\sin\beta~\Rightarrow
\frac{\sqrt{13}}{4}\cdot\cos\beta+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\sin\beta=\sqrt{3}\sin\beta~\Rightarrow~\cos\beta=3\sqrt{\frac{3}{13}}\sin\beta~\Rightarrow~\ctg\beta=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{13}}~\Rightarrow~.
\Rightarrow~\sin\beta=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^{2}\beta}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{13}}\right)^{2}}}=\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{10}}.
Следовательно,
\frac{R}{BD}=\frac{1}{2\sin\beta}=\frac{1}{\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{10}}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{13}}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2014-2015, март 2015, закл. тур, 11 класс, задача 4, вариант 4-1