16832. Точки K
и L
— середины оснований соответственно BC
и AD
трапеции ABCD
. Известно, что AD=10BC
. На боковых сторонах AB
и CD
взяты соответственно точки M
и N
, причём прямая MN
параллельна основаниям трапеции. При каком значении AM:MB
сумма площадей треугольников BKN
и MNL
будет наибольшей?
Ответ. 19:17
.
Решение. Обозначим площадь трапеции ABCD
через S
, высоту трапеции через h
, BC=a
, а \frac{BM}{AB}=x
. Тогда
S=\frac{1}{2}(BC+AD)h=\frac{1}{2}(a+10a)h=\frac{11ah}{2},
откуда ah=\frac{2S}{11}
. Значит,
S_{\triangle BKN}=\frac{1}{2}BK\cdot xh=ah\cdot\frac{x}{4}=\frac{2S}{11}\cdot\frac{x}{4}=\frac{Sx}{22}.
Пусть диагональ AC
и отрезок MN
пересекаются в точке P
. Тогда треугольник AMP
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{AM}{AB}=1-x
, а треугольник CPN
подобен треугольнику CAD
с коэффициентом \frac{CN}{CD}=\frac{BM}{AB}=x
. Значит,
MN=MP+PN=a\cdot(1-x)+10a\cdot x=a(9x+1).
Тогда
S_{\triangle MNL}=\frac{1}{2}MN\cdot(1-x)h=\frac{1}{2}a(9x+1)\cdot(1-x)h=ah\cdot\frac{(9x+1)(1-x)}{2}=
=\frac{2S}{11}\cdot\frac{(9x+1)(1-x)}{2}=\frac{S}{11}(9x+1)(1-x).
Значит,
S_{\triangle BKN}+S_{\triangle MNL}=\frac{Sx}{22}+\frac{S}{11}(9x+1)(1-x)=-\frac{S}{22}(18x^{2}-17x+2).
Наименьшее значение квадратного трёхчлена 18x^{2}-17x+2
достигается в точке x=\frac{17}{36}
. Значит, в этой точке достигается наибольшее значение выражения -\frac{S}{22}(18x^{2}-17x+2)
. Следовательно, при \frac{BM}{AB}=x=\frac{17}{36}
искомая сумма площадей максимальна. При этом
\frac{AM}{BM}=\frac{36-17}{27}=\frac{19}{17}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2015-2016, март 2016, закл. тур, задача 3, вариант 3-1