1684. Найдите угол между радиусами OA
и OB
, если расстояние от центра O
окружности до хорды AB
: а) вдвое меньше AB
; б) вдвое меньше OA
.
Ответ. а) 90^{\circ}
; б) 120^{\circ}
.
Указание. Опустите перпендикуляр из центра окружности на хорду AB
.
Решение. а) Опустим перпендикуляр OM
из центра окружности на хорду AB
. В прямоугольном треугольнике OAM
известно, что OM=\frac{1}{2}AB=AM
, поэтому треугольник OAB
— прямоугольный и равнобедренный. Значит, \angle AOM=45^{\circ}
. Следовательно,
\angle AOB=2\angle AOM=90^{\circ}.
б) Опустим перпендикуляр OM
из центра окружности на хорду AB
. В прямоугольном треугольнике OAM
известно, что OM=\frac{1}{2}OB
, поэтому \angle MAO=30^{\circ}
, а \angle AOM=60^{\circ}
. Следовательно,
\angle AOB=2\angle AOM=120^{\circ}.