16848. Внутри прямоугольного треугольника ABC
с гипотенузой AC
взята точка M
, причём площади треугольников ABM
и BCM
составляют треть и четверть площади треугольника ABC
соответственно. Найдите BM
, если AM=60
и CM=70
.
Ответ. \frac{100}{\sqrt{7}}
.
Решение. Пусть MP
и MQ
— высоты треугольников AMN
и BMC
соответственно. Поскольку BPMQ
— прямоугольник, а площадь треугольника BMC
составляет четверть площади треугольника ABC
, то
BP=MQ=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{4}c~\Rightarrow~AP=c-\frac{c}{4}=\frac{3}{4}c.
Аналогично находим, что
BQ=\frac{1}{3}a,~CQ=a-\frac{1}{3}a=\frac{2}{3}a.
Из прямоугольных треугольников APM
и CQM
получаем систему
\syst{\left(\frac{3}{4}c\right)^{2}+\left(\frac{1}{3}a\right)^{2}=60^{2}\\\left(\frac{1}{4}c\right)^{2}+\left(\frac{2}{3}a\right)^{2}=70^{2},\\}
откуда \left(\frac{1}{3}a\right)^{2}=\frac{8100}{7}
и \left(\frac{1}{4}c\right)^{2}=\frac{1900}{7}
. Следовательно,
BM=\sqrt{\left(\frac{1}{3}a\right)^{2}+\left(\frac{1}{4}c\right)^{2}}=\sqrt{BQ^{2}+BP^{2}}=\sqrt{\frac{8100}{7}+\frac{1900}{7}}=\frac{100}{\sqrt{7}}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2017-2018, отборочный этап, 10 класс, задача 3