16859. Наибольшая сторона треугольника на 10 больше второй по величине стороны, а один из углов треугольника в два раза больше другого. Чему может быть равна биссектриса третьего угла, если этот угол в три раза больше, чем один из двух других углов?
Ответ. 10 или 5\sqrt{2}(3+\sqrt{3})
.
Решение. Пусть наименьший угол треугольника равен \alpha
. Тогда ещё один угол равен 2\alpha
, а третий угол равен либо 3\alpha
, либо 6\alpha
. Значит, либо
\alpha+2\alpha+6\alpha=180^{\circ}~\Rightarrow~\alpha=20^{\circ},
либо
\alpha+2\alpha+3\alpha=180^{\circ}~\Rightarrow~\alpha=30^{\circ},
Значит, углы треугольника равны либо
\angle A=20^{\circ},~\angle B=40^{\circ},~\angle C=120^{\circ},
либо
\angle A=30^{\circ},~\angle B=60^{\circ},~\angle C=90^{\circ}.
Рассмотрим первый из этих случаев. По условию AB=AC+10
. На отрезке AD
отметим точку D
, для которой AD=AC
. Тогда
BD=AB-AD=AC-AD=10,~\angle DCA=\angle CDA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-20^{\circ})=80^{\circ}.
Пусть CL
— биссектриса треугольника ABC
. Тогда
\angle LCA=\frac{1}{2}\angle C=60^{\circ},~\angle CLB=\angle A+\frac{1}{2}\angle C=20^{\circ}+60^{\circ}=80^{\circ},
\angle DCL=\angle ACD-\angle ACL=80^{\circ}-60^{\circ}=20^{\circ},~\angle BCD=120^{\circ}-80^{\circ}=40^{\circ}.
Значит, треугольники DCL
и BDC
равнобедренные. Следовательно,
CL=CD=BD=10.
Рассмотрим второй случай. Снова на отрезке AD
отметим точку D
, для которой AD=AC
, и проведём биссектрису CL
треугольника ABC
. Тогда
\angle DCA=\angle CDA=75^{\circ},~\angle CLB=45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ},~CL=CD,
\angle DCL=75^{\circ}-45^{\circ}=30^{\circ},~\angle BCD=90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}.
Значит, по теореме синусов из треугольника BCD
получаем
\frac{CD}{\sin\angle B}=\frac{BD}{\sin\angle BCD},\mbox{или}~=\frac{CD}{\sin60^{\circ}}=\frac{BD}{\sin15^{\circ}}.
Следовательно,
CL=CD=\frac{BD\sin60^{\circ}}{\sin15^{\circ}}=\frac{10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin15^{\circ}}=\frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=5\sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})=5\sqrt{2}(3+\sqrt{3}).
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2019-2020, май 2020, закл. тур, 11 класс, задача 3, вариант 1